Дан треугольник ABC, в котором ∠A+∠B=90°, а sinB=2√3/10√5. Найди cos2B.

Из условия задачи известно, что в треугольнике ABC углы A и B образуют прямой угол, то есть их сумма равна 90°. Также известно значение синуса угла B.

Используя тригонометрическое тождество sin^2B + cos^2B = 1, можно найти значение косинуса угла B:

sin^2B + cos^2B = 1 (2√3/10√5)^2 + cos^2B = 1 12/100 + cos^2B = 1 cos^2B = 1 - 12/100 cos^2B = 88/100 cosB = ±√(88/100) cosB = ±(2√22/10)

Так как угол B находится в первой четверти, то cosB > 0. Поэтому cosB = 2√22/10.

Чтобы найти cos2B, воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos2B = cos^2B - sin^2B cos2B = (2√22/10)^2 - (2√3/10√5)^2 cos2B = (422/100) - (43/100) cos2B = (88/100) - (12/100) cos2B = 76/100 cos2B = 0.76

Ответ: cos2B = 0.76.