Исследуйте функцию y = (x-3)e^x. 1) Найдите область определения функции2) Найдите точку пересечения функции с осью Ox.

1) Область определения функции y = (x-3)e^x - это множество всех действительных чисел x.

2) Чтобы найти точку пересечения функции с осью Ox, нужно приравнять y к нулю и решить уравнение: (x-3)e^x = 0

Так как экспонента e^x никогда не равна нулю, то уравнение (x-3)e^x = 0 будет выполняться только тогда, когда (x-3) = 0. Решая это уравнение, получаем: x - 3 = 0 x = 3

Таким образом, точка пересечения функции с осью Ox имеет абсциссу x = 3.

3) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, нужно найти производную функции и исследовать ее знаки.

Для функции y = (x-3)e^x, найдем производную: y' = (x-3)e^x + e^x = (x-2)e^x

Производная равна нулю, когда (x-2)e^x = 0. Это уравнение выполняется только при x = 2.

Исследуем знаки производной на интервалах (-∞, 2) и (2, +∞):

Для x < 2, (x-2) < 0 и e^x > 0, поэтому производная y' < 0. Для x > 2, (x-2) > 0 и e^x > 0, поэтому производная y' > 0.

Таким образом, функция возрастает на интервале (2, +∞) и убывает на интервале (-∞, 2).

Точка x = 2 является точкой минимума функции. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = 2 в исходную функцию: y = (2-3)e^2 = -e^2

Таким образом, точка экстремума функции имеет абсциссу x = 2, а значение функции в этой точке равно -e^2.