Для нахождения промежутков монотонности функции x³-27x²-5x+11 необходимо найти ее производную и решить неравенство f'(x) > 0 или f'(x) < 0.

Вычислим производную функции: f'(x) = 3x² - 54x - 5

Решим неравенство f'(x) > 0: 3x² - 54x - 5 > 0

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Найдем корни квадратного уравнения 3x² - 54x - 5 = 0: x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a где a = 3, b = -54, c = -5.

Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = (-54)² - 4 3 (-5) = 2916 + 60 = 2976.

Так как D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x₁ = (54 + √2976) / 6 ≈ 9.77 x₂ = (54 - √2976) / 6 ≈ -3.11

Построим таблицу знаков для неравенства f'(x) > 0: x < -3.11 | -3.11 < x < 9.77 | x > 9.77

• | - | +

Таким образом, неравенство f'(x) > 0 выполняется на интервалах (-∞, -3.11) и (9.77, +∞).

Решим неравенство f'(x) < 0: 3x² - 54x - 5 < 0

Построим таблицу знаков для неравенства f'(x) < 0: x < -3.11 | -3.11 < x < 9.77 | x > 9.77

• | + | -

Таким образом, неравенство f'(x) < 0 выполняется на интервале (-3.11, 9.77).

Итак, промежутки монотонности функции x³-27x²-5x+11: 1) Функция возрастает на интервалах (-∞, -3.11) и (9.77, +∞). 2) Функция убывает на интервале (-3.11, 9.77).